我希望上述占了我文章一半篇幅的三个例子已足以说明许多最好的灵感来自于经验。很难相信，存在着与人类所有经验相联的、绝对的、不可变动的数学严格性的概念。关于这个问题，我企图采取一种低姿态，不管你对哲学或认识论持何种偏爱，任何一个了解数学的人，都会实际感受到一种经验，它很少会支持这样的假设：存在一个先验的数学严格性的概念。然而，我的文章还有另外一事，现在我试图转向这部分。
      对任何数学家来说，很难相信数学是一门纯粹经验科学，或者说，所有数学概念都起源于经验主体。首先让我们来考察陈述的第二部分。现代数学中有各种各样重要部分，它的经验来源是不可追溯的。或者说，如果可以追溯的话，也是如此间接，显然地自它割断它的经验根源之后，就面貌全非了。代数符号是为了数学本身的使用而发明的。当然也可以合理地断言：它加强了与经验的联系，但是，现代的抽象代数，已经愈来愈朝着与经验很少相联的方向发展。关于拓扑也可以这样讲。在所有这些领域，数学家主观上的成功标准和作用价值，是自身相容、符合美学和脱离(或几乎脱离)经验(关于这些，我将进一步叙述)。在集合论中，这更为明显，一个无穷的“幂”和“序”，可以是有限数概念的推广，但是在他们的无限形式中(特别是“幂”)，它们和这个世界很难有任何联系。如果我不想避免某些技巧，我能够用数集理论作为例子来详细地叙述这一点。“选择公理”问题，无限“幂”的“可比较性”，“连续统”问题等等，也是如此。同样的评述可以应用到实函数论和实点集论：尽管它们可以被设想成是抽象的，不可应用的学科，并且按这种精神来看，几乎总是雅致的，然后在十年之后，有的可能在一个世纪之后，却变得对物理学十分有用。它们主要地仍然是在追求象征性的、抽象的、非应用的精神。
      所有这种情况，以及它们的各种组合的事例可以不断重复，但  是，我想转到我前面指出过的第一方面去：数学是一门经验科学吗?或者更精确地说，数学真的是按经验科学那样实践的吗?或者，  更一般地说：数学家和他的课题的标准关系是什么?他向往的成功标准是什么?什么影响、什么考虑在控制和指引着他的努力呢?
      然后，让我们来看，数学家常规的工作方法和自然科学家工作方法的差别在哪里。这种差别的持续，显然影响了从理论学科到实验学科，继而从实验学科到描述学科之间的差别。因而让我们把数学与最相近于数学范畴的学科——理论学科作一比较。让我们在这里选取一个与数学最相近的学科——理论物理。数学和理论物理实际上有着许多共同之处。正如我前面已说过的，Euclid几何系统是经典力学公理描述的原型。类似的现象是热力学的陈述，充满着如同Maxwell的描述电动力学系统，以及狭义相对论的句子。此外认为理论物理不管是分类的还是综合的，都不是解释现象的态度，今天已为大多数理论物理学家所接受。这意味着，这理论成功的标准，只需看一看它是否能建立一个简单的和雅致的，分类的或综合的能概括许多现象的框架;这些现象如果没有这个框架将会显得复杂和参差不齐的，进而看它是否能概括没有考察到的或者提出框架时尚不知晓的现象(这后面两种说法代表一个理论的统一性和预见力)。现在展示在这里的标准——显然极大地扩充了美学的性质，由于这个理由，它和你将要看到的对数学来说几乎完全是美学的成功的标准是很密切相联的。因此，我们现在可以把数学和与它最相近的自然科学作比较，与我想我已说明了的和数学有许多共同之处的理论物理相比较。然而在实际的惯用的方法中差别是巨大的和基本的，理论物理的目标主要来自“外界”，大部分是由于实验物理学的需要。他们几乎总是起因于想解决某一难题，预见和协调的成功通常会跟着到来。这看来是相似的，进展(预见和协调)来自研究过程，这种研究对解决某些原先存在的难题是必然要经历的。理论物理中的一部分工作是为了探索某种障碍，这种障碍的“突破”提供了发展，如我已提及的，这些难题通常源于实验;但是有时它们却是可接受的理论本身中各部分之间的不协调之处，当然，例子也是不少的。