但是我不想进一步强调这件事。我将回到刚才停下的关于“数学基础"的论争方面去。在19世纪末和20世纪初，抽象数学的一个新分支，G．Cantor的集合论，引出了困难。即某些推理引向了矛盾;当这些推理并不处于集合论的中心的和“普适”的地位时，总比较容易根据某些形式的标准消除它，但是为什么集合论的后继部分比集合论自身更可信这是不清楚的。除了事后看到它们事实上引向灾难之外，对什么是先验的动因，什么是与之一致的哲学特征，人们如何从想要解决的集合论中去分离出它们也是不清楚的。紧接着对这种情况进行研究的主要是Russell和Weyl，后来由Brouwer作出结论，这些研究表明：不仅集合论，而且大部分现代数学所使用的“一般有效性”和“存在性”概念，在哲学上是要引起异议的。一个较少地具有这种不可预料的特点的“数学系统”是“直觉主义”，它是由Brouwer发展的。但是按这种方式，现代数学中，特别是在分析数学中，百分之五十以上的最有生机的部分或者要被“清除”掉，或者将变得无效了，或者必须补加某些更为复杂的考察来进行论证。后一过程，常常使有效性的一般性和推导的漂亮方面会有所减色。但是Brouwer和Weyl认为：根据这些思想去修正数学严格性的概念是必要的。
      不可能过高地估计这些事情的意义。在20世纪30年代，有两位持第一种态度的数学家实际上提出了：数学的严格性概念和怎样构成一个精确证明的观念应该是可以改变的!下列的展开是值得注意的：     
      1．仅有很少的数学家，在他们自己日常工作中，愿意接受新的，苛刻的标准。尽管很多数学家称颂Weyl和Brouwer的基本想法是正确的，但是他们自身继续不受干涉地工作着，即按“老”的容易的方式搞他们自己的数学。
      2．Hilbert追随着下面这个天才的思想去论证“经典”的(即直觉主义以前的)数学：即使在直觉主义系统中，也可以对经典数学是如何运算的给出严格的说明。也就是说人们可以描述经典系统是如何工作的，尽管人们不能论证这种工作。因此有可能直觉主义地证明：经典的程序决不可能引向矛盾。显然这样的证明是很困难的，但是对于怎样才能达到它，有着某些启示。按这个方案进行工作，有可能提供一个在与直觉主义系统相反的基础下证明经典数学的最为值得重视的证明。至少，这个解释在大多数数学家愿意接受的数学哲学系统中将是合法的!
      3. 在试图建立这个规划的大约十年之后，G6del作出了最为值得铭记的结果。这个结果，如果没有某些附加的不引起误解的说明，那是不能作绝对精确的陈述的。它的基本内容是这样的：如果一个数学系统并不引向矛盾，那么这件事实，使用该系统的程序是不可证明的。GOdel的证明满足数学严谨性的最严格的标准——直觉主义的标准。它对Hilbert纲领的影响作用引起了某些争论，不过说理太技术化了。我现在的观点也和许多人一样，认为G6del已经证明了Hilbert的纲领本质上是无用的。
      4．在Hilbert或Brouwer意义之下论证经典数学的主要想法已经过去了。大部分数学家决定使用任意的系统。总之经典数学过去曾产生的结果既是雅致的又是有用的。即使人们不能绝对地确定它的现实性，但是把它作为基础还是稳妥的，如像电子的存在那样。因此，如果人们愿意接受科学，人们就同样能接受经典的数学系统，甚至对直觉主义的某些最初的拥护者来说，这样的观点也成为可接受了。当前关于“基础”的论争，确实不太紧凑了，但是，经典系统将被大多数人而不是少数人抛弃的想法，似乎最不受欢迎。
  我对这个论争的沿革，已经作了如此详细介绍，因为我想这是最谨慎的对数学的严格性是不可改变的说法的异议。这发生在我们自身的时代，我惭愧地知道自己关于绝对的数学真理性看法，在这一时期是怎样容易地改变的，并且是怎样相继地改变了三次的。