微积分的起源显然是经验的，Kepler尝试着做的最早的积分，被叫做“dolichometry”——小桶的量度——即量度由曲面包围起来的物体的容积。这是非公理化的，经验的几何学，而不是Euclid以后的那种几何学，Kepler是完全知道这些的。Newton和Leibniz的那些主要成果和主要发现确实起源于物理学。Newton发明的“流数”运算，本质上是为了力学。事实上，这两门学科，微积分和力学，是由它们或多或少地结合在一齐而得到发展的。微积分的最初的一些陈述，数学上甚至可以是不严格的。一个不精确的半物理的陈述，是Newton以后一百五十多年来仅有的一种可供使用的陈述!这一时期数学分析取得了某些最重要的进步,而这种不精确性不能适应于基础!这时期的某些主导的数学精神显然是不严格的，如Euler;但是另外一些数学家，主要的如Gauss和Jacobi就并非如此。这种发展极为含混和模糊，它和经验的关系，确实不是按照我们(或Euclid)提出的抽象的和严格的想法那样。但是并没有数学家想排斥它。那个时期确实也产生了第一流的数学。即使在本质上是由Cauchy重建的严格性盛行之后，一种特殊的半物理方法在Riemann那里仍然得到了复萌。Riemann的科学的个性本身就是一个数学的两重性的光辉榜样，这些可以在Riemann和Weierstrass的争论中见到，如果我详细地列出这些，恐怕会使技术细节叙述得过分多了。自Weierstrass以来，分析数学似乎变得完全抽象、严格和非经验了，其实这也不是绝对真实的。在最近两代人中发生的有关数学和逻辑的“基础”的争论，驱散了许多关于这方面的错误的幻想。
      这为我带来了第三个例子，它和上述争论的判断是有关的，但是这个例子更多地是论述数学与哲学或认识的关系，而不是数学与自然科学的关系，它用一种引人注目的方式说明“绝对的”数学严格性的概念并不是不可改变的。严格性概念的可变性表明：在数学抽象之外的某些事物，作为补偿不足必须进入数学。在分析关于“基础”的争论时，我一直不能使自己确信：这种说法一定有利于外部成分的经验性质，尽管在讨论的某些言词上，对这样一种说明的支持是十分强有力的，但是我并没有把它看作是绝对地不可争议的。然而有两件事是清楚的。第一，已经引入某些非数学事物，这是本质的，不管它与经验科学或者哲学或者与两者如何联系，它的非经验的特点，仅当人们假设哲学(更为专门的认识论)能够独立于经验而存在时才能使人注意(这个假设仅是必要的而不是充分的)。第二，不顾关于“基础”的争论可能作出的最好解释，数学的经验来源是受到如我们较早提到的例子(几何学和微积分)的强有力地支持的。在分析数学严格性概念的可变性时，我希望主要强调的是上面已谈及的“基础”的论争。但是，我喜欢首先简要地考察问题的第二方面。尽管这方面也能加强我的论证，但是我把它看作第二位的，因为它的结论的终极性比“基础”论证的分析要少，我正在把这个归诸于数学“风格”的改变。大家知道，写出的数学证明的风格已经经历了相当大的起落，说起落比趋向要好一点，因为在某些方面，当代作者和18世纪或19世纪的某些作者之间的差别比当代的作者和Euclid之间的差别要更为大一些。此外，另一方面，它们有着值得注意的经久不变的东西。在有些呈现了某些差别的领域，无需引进任何新的思想，它们的主要差别，就可能消除。但是在许多场合，这些差别是如此的广泛，以致使人开始怀疑：在这种分歧的道路上，差别是否能仅仅由作者的风格、试验和教育上的差别来说明呢?他们实际上在构成数学的严谨性方面是否具有同样的思想呢?最后，在极端的情况下(例如：上面所说的18世纪后期分析方面的许多工作)，差别既是本质的，如果完全只是为了有助于新的和意义深远的已经发展了一百多年的理论的话，它又是可以补救的，有些按此种不严格方式工作着的数学家(或者他们的某些对此持批评态度的同辈人)是意识到它们缺乏严格性的。或者更为客观地说：他们关于什么是数学程序的想法是愿意遵循我们提出的观点的，但他们的行动却并非如此。但是另一些人，例如：这时期的最伟大的学者Euler似乎坚定地持有自己的标准，并且一直在按他自己标准行事。