内容摘要：传统的音乐研究，特别是民族音乐研究，绝大部分都侧重于音乐的艺术性角度（音乐的社会属性），鲜见有从音乐的科学性角度（音乐的自然属性）进行研究的。但是，近年来随着科学技术的快速发展，这一状况正在逐步得到改观。本文使用分形几何的方法，对古琴音乐作品进行了分析研究，证明了古琴音乐的旋律是分形的，并且对古琴音乐作品与西方古典音乐作品的异同进行了初步的比较分析，揭示出不同时空、不同历史文化背景下音乐的共同特征——分形性。
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一、引言
在我国传统音乐中，古琴是最古老的弦乐器之一。《乐记》有“昔者舜作五弦之琴，以歌南风”之说。清代著名琴家徐祺在《五知斋琴谱》中写道：“昔者伏曦之王天下也。仰观俯察，感荣河出图，以画八卦，听八风以制音律，采峰山孤桐，合阴备阳，造为雅乐，名之曰琴。”另外也有人说古琴是神农或尧帝等创制的。这些虽出自传说，无文字记载或实据可考，但在安阳殷墟墓葬中出土的文物中有两件像琴的石器，且甲骨文中把音乐的乐字记为“ ”，这是以丝弦张附在木器上的象形，由此说明在殷商时代（即甲骨文产生之际）就已有了琴这一类乐器，大概是可信的[1]。由此亦可推知古琴应产生于殷商之际甚或在此之前，即古琴已存在三千多年了。
对于这样一件产生于史前，而且几乎完整不变地流传至今的乐器，不仅在中国，即便是在全世界范围也难以再找到第二个！因此，对古琴尤其是古琴音乐进行详细的考察与研究，不仅能够揭示我国古代音乐的发展变化情况，而且亦可从中透视出我国古代社会政治、经济和科技的发展与变化[2][3][4]。
对音乐进行研究，当今占据主导地位的有三种方法，即历史的方法、分析的方法和比较的方法[5]。这三种方法在音乐研究中已经取得了辉煌的成就，而且仍还有着非常广阔的前景。但是，它们各自的研究范围都比较狭小，或某一作品，或某一人某一派的作品，或某一时期的作品，或某一地域(或西方或东方或非洲或拉美)的作品，而不能从整体上研究范围更广的音乐现象。众所周知，无论古今，不分地域，任何地方只要有人，就会有音乐，这就说明音乐必定有着某种属性，它是一种与时空无关的非民族性的属性，即音乐的自然属性。可这种自然属性究竟是什么呢？怎样才能将它表示出来呢？我们认为，分形几何为这一问题的解答提供了一种可能[6][7]。
二、分形几何与音乐
分形几何[8]的概念是由曼得勃罗在上世纪60年代末提出来的。它的主要思想是说，在不规则现象表面所呈现的杂乱无章的背后仍存在着规律，这个规律就是在放大过程中呈现出的自相似性。
在自然界中，分形现象普遍存在，俯拾即得。如：微观世界中晶体的生长，相变过程和化学反应等；宇观世界中太阳黑子的活动和星际空间物质的分布等；宏观世界中河流的走向，树枝的分叉以及地震震级的分布等；就连我们人体血液循环系统中血管的分支和脑电波分布都是分形的。也就是说，自然界似乎存在着“分形者生存”这一规律。
既然我们赖以生存的这个世界到处都充满着分形，既然我们的血管分支和脑电波都是分形的，因而想必在我们的潜意识中(或者是本能地)对分形现象定会有着某种默契或产生共鸣，或者说我们人也偏爱分形，正是这种偏爱形成了音乐创作与欣赏在主体心理与对象间的锁定。沃斯和科拉克[6]等人首先从实验上证明了这一点，他们发现优美动听的音乐的音量是分形的，后来许氏父子（许靖华和安得鲁·许）[7]又从理论上证明了古典音乐中旋律的进行也是分形的。
三、古琴音乐中的分形几何
为了研究音乐的分形几何，首先必须把它加以量化，因此撇开音乐的社会学定义不讲，现在我们从数学上给它下一个定义：音乐是具有不同音高（频率）的音的一种有序排列。既然如此，那么这种有序的数学表达是什么？随意地敲击琴键不会产生音乐，不同音的有序排列组成了旋律，这种排列是分形的吗？如果答案是肯定的话，那么在一首音乐作品中两相邻音之间的音程 i 与其出现的几率 F 应满足下述关系：
F = C/iD 或 logF=C’- Dlogi
即音程 i 的对数与其出现几率F的对数之间存在线性关系,也就是说以 logF 和 logi 为纵横坐标作图,则各点均应在同一直线上。其中 D 为该作品的分形维数(分维)，C 为比例系数，C’= logC。
许氏父子通过分析发现[8]，对于巴赫和莫扎特等古典音乐大师的作品，上述分形关系式均可确立，但对于现代无调性音乐作品，则无此种关系。为了对我国古代音乐进行深入的理解与研究，为了对东西方音乐的异同进行比较，下面我们也将使用这一方案对我国古琴音乐进行分析。
首先选取《古逸丛书》中管平湖打谱的《幽兰》[9]进行分析。对该曲中音程 i 及其出现几率的统计结果如下表：
