显赫的彭加勒家族
130年前的4月29日，昂利•彭加勒出生在法国南希(Nancy)。他的祖父曾在拿破仑军队中供职，隶属于圣康坦(Saint Quentin)部队医院。1817年，祖父在鲁昂(Rouen)定居，并结婚成家，后有两个儿子。大儿子莱昂•彭加勒(Léon Poincaré)生于1828年，他是一位第一流的生理学家兼医生、南希医科大学教授。二儿子安托万•彭加勒(Antoine Poincaré)，曾升迁为国家道路桥梁部的检查官。
莱昂的妻子是一个善良、机敏、聪明的女性，她生有一子一女，儿子就是后来成为伟大科学家的昂利•彭加勒。安托万有两个儿子：一个是昂利的堂弟雷蒙•彭加勒(Raymond Poincaré)，他曾于1911年、1922年和1928年几度组阁，出任总理兼外交部长。1913年1月至1920年初，荣任法兰西第三共和国第九届总统。安托万的另一个儿子吕西安•彭加勒(Lucien Poincaré)是中等教育局局长，并在大学担任高级行政职务。昂利就是这个显赫的彭加勒家族中的成员。
据说，昂利不喜欢Poincaré这个姓。因为在法语中，Point是“点”的意思，而Carré是意为“正方形”或“平方”的名词、形容词。在这位著名的数学家看来，Poincaré意味着“点的平方”，这显然是毫无意义的。可是，有人认为，Caré是quarré的后缀，法国古诗中有“挥起正方形的拳头(poing quarté)……”这样的句子，Poincaré这个姓也许由此而来。
走上生活之路
从彭加勒家族成员的显赫名单中，人们也许会想，昂利•彭加勒可能会显示出某些行政管理才能。可是出乎预料的是，他除在童年时代和妹妹以及其他小朋友作政治游戏时做过高官外，从未表现出这方面的能耐。在这些政治游戏中，他总是秉公办事，合理待人，他的每一个伙伴都能从他的“衙门”获取应得的报偿。俗话说，从小看大，三岁看老。昂利•彭加勒后来没有象雷蒙那样成为一个显赫一时的政治家，而成为一位诚实、正直、严肃的科学家。
昂利•彭加勒的童年是不幸的。在幼儿时，他的运动神经共济官能就缺乏协调。他的两手后来虽说都能写字画图，但他的字、画都不好看。乍看起来，他也没有什么超人的天才，这可由一件趣闻佐证。当他后来被公认是他所处时代的第一流数学家时，他接受了比内(Binet，法国心理学家)试验，结果他被断定是一个笨人。由于在他的孩提时代，母亲把全部心血倾注到子女的教育上，所以他的智力发展较快，很早就学会了讲话，不过开始也不大顺利，他思考得很快，而迟迟找不到要说的恰当词语。
五岁时，白喉病把他折磨了整整九个月，从此留下了喉头麻痹症。这次疾病使得他长时期身体虚弱、缺乏自信。他无法和小伙伴们作粗野的游戏了，只好另找娱趣。
他的主要娱乐是读书，在这个广阔的天地里，他的天资通过锻炼逐渐显露出来。大约从七八岁时起，他对博物学发生了兴趣，《大洪水前的地球》一书给他留下了深刻的印象。他读书速度之快令人难以置信，而且过目不忘，往往能说出那页那行讲了些什么。他在自己的一生中都保持着这种视觉记忆(空间记忆)能力。他的时间记忆——以不可思议的准确性回忆往事一一能力也非常强。大多数数学家好像通常通过眼睛看来记忆公式和定理，彭加勒视力极差，他上课时看不到老师在黑板上写的东西，也不好记笔记，全凭耳朵听，这大大增进了他的听觉记忆能力。到后来，他在头脑中能够完成复杂的数学运算，他能够迅速地写出一篇论文而无需大改。人们对此觉得不可理解，在他看来，这却是自然而然的。这种“内在的眼睛”大大有益于他的工作，因为抽象的数学研究正需要丰富的想象和敏锐的直觉。
幼年的残疾弄得他手指不大听使唤，从而妨碍了实验技巧的训练。尽管他后来教过实验物理课程，也掌握了一些实验技能，但总的说来仍比较逊色，这也是他后来主要从事理论研究的原因。有人说，假使他在实验科学方面和在理论科学方面的兴趣一样强烈的话，他也许会成为与牛顿相媲美的人。
彭加勒十分喜爱动物。他初次玩来复枪时，无意中射死了一只小鸟。他为此深感内疚，再也不愿摸枪支了(除在战争期间强制进行的军事训练而外)。九岁时，他写了一篇出色的作文，法文老师认为，彭加勒的作文在形式和内容方面都有独创性，它是一篇“小杰作”。这篇作文第一次表明彭加勒将来会成为一个有出息、有成就的人。
彭加勒在初等学校的学业成绩是优秀的。但是他并没有一天到晚爬在桌子上死啃书本，像其他孩子一样，他也乐于游戏和玩耍。他喜欢跳舞，还自编自演过一出诗剧。功课对他来说就像呼吸一样容易，他把许多时间用来娱乐和帮母亲干活。从小时候起，彭加勒就具有“心不在焉”的性格：他每每忘记吃饭，几乎从未记清他是否吃过早餐。这种性格直到成年也未改，比如离开旅馆时，他有时便稀里糊涂地把房间的台布、床单之类的小物件卷进自己的行李中。
在15岁前后，奇妙的数学紧紧地扣住了彭加勒的心弦。一开始，他就显示出终生的怪癖：当他不停地来回踱步时，那正是在聚精会神地思考数学问题，只有彻底想好了，他才把结果记在纸上。他工作时，各种外界干扰对他来说毫无影响。有一次，一位芬兰数学家长途跋涉到巴黎与彭加勒商讨问题，当女仆告诉彭加勒有客来访时，他似乎没有听到，还在继续来回踱步，整整踱了三个钟头。
1870年，普法战争爆发了，当时彭加勒才16岁。他年幼体弱，没有服兵役，可是也经受了风险。德国侵略者占领了他的家乡南希，他在战地巡回医院协助父亲工作。后来，他随母亲到阿兰瑟(Arrancy)的外婆家去，他童年时代最幸福的日子就是在那里渡过的。阿兰瑟位于圣普里瓦(Saint Privat)战场附近，母子三人忍饥挨饿，在滴水成冰的天气里越过一个个沦为焦土的村镇。到达目的地，映入他们眼帘的只是一片残垣颓壁，侵略者的铁蹄蹂躏了美好的家园。敌人的兽行促使彭加勒终生成为一名热情的爱国主义者。但是，他从来也没有把敌国的数学和敌国军队的野蛮行径混同起来。正像埃尔米特(C．Hermite，法国数学家)没有反对高斯(C．P．Gauss，德国数学家)一样，彭加勒也从未敌视过库默(E．Kummer，德国数学家)。可是，彭加勒的堂弟雷蒙却迥然不同，每当他提起德国人时，总是伴随着憎恨的尖叫声。在战争期间，彭加勒为了听懂德国兵的交谈和阅读德文报纸，他通过自学掌握了德语。
按照法国通常的习惯，彭加勒在17岁(1871年)进入专业训练之前接受了首次学位(文学和理学学土)考试。在考数学时，他由于迟到而心神不安，连证明收敛几何级数求和公式的简单试题都作错了。由于平时成绩优秀，他还是在数学不及格的情况下通过了学位考试。主考人说：“彭加勒是一个例外，若是其他任何学生，无论如何也不会被录取。”
他进入福雷斯(Forestry)学校学习，在没有记一页课堂笔记的情况下赢得了一次数学奖金，这使他的同学惊讶不已。他们以为彭加勒是个吊儿郎当的人，便闹了个恶作剧，哄骗他代表四年级学生参加数学竞赛，解一个十分难对付的数学题。彭加勒似乎没有怎么思考就直接写出了答案，然后扬长而去，那些垂头丧气的戏弄者还在纳闷：“他究竟是怎样作出来的?”在彭加勒的整个一生中，其他人经常询问同样的问题。的确，当一个数学难题摆在他面前时，他的答案就像刚刚离弦的箭一样飞来。
1871年底，彭加勒进入高等工业学校深造。据说，在入学考试时，一位主考入得知彭加勒是“数学巨怪”，故意把考试推迟了三刻钟，想用一个经过精心推敲的试题难倒他。结果，彭加勒回答得很出色，得到了最高分数。他尽管在数学上名列前茅，但体育成绩很不好，绘画得了零分。按当时的规定，零分意味着淘汰。主考人熟知他的情况，还是破例录取了他。
彭加勒1875年从高等工业学校毕业，其时21岁。他接着到矿业学校学习，打算做一名工程师。他满怀信心地攻读工程技术课程，一有闲空，就劲头十足地钻研数学，并在微分方程一般解的问题上初露锋芒。1878年，他向巴黎科学院提交了这个课题的“异乎寻常”的论文，为此于第二年8月1日得到了数学博土学位。
彭加勒并非命中注定要成为一个矿业工程师，但是在见习期间，他却表现出一个真正的工程师的勇气。在一次矿井爆炸时，他奋不顾身地冲进去营救16个遇难的同事，为此深得矿工们的信赖。然而，这个职业与他的志趣不相投，他又想作一个职业数学家。得到博士学位后不久(12月1日)，他应聘到卡昂(Caen)大学作数学分析教师。两年后，他升迁到巴黎大学执教，讲授力学和实验物理学等课程。除了在欧洲参加科学会议和1904年应邀到美国圣路易斯博览会讲演外，他一生的其余时间都是在巴黎作为法国数学界乃至世界数学界的领袖而度过的。
堪与高斯媲美的大数学家
1789年的法国大革命推翻了成为社会发展桎梏的封建制度和专制政体，促进了科学的发
展，使法国在18世纪末和19世纪初取代英国，一跃而成为世界科学的中心。在这里，只需提一下拉格朗日，蒙日、拉普拉斯、傅里叶、柯西等著名数学家的名字就可想而知法国科学的盛况了。可是，由于启蒙主义在德国的活跃和以普鲁土为中心的各诸侯国的统一，德国在世界舞台上崭露头角，后来居上，在19世纪后半期夺得了科学的主导权。尽管如此，由于彭加勒等人的继往开来，仍使法国有能力自立于世界科学之林。彭加勒被认为是19世纪最后四分之一和本世纪初期的数学主宰，并且是对数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。要知道，当时的许多数学分支都变成了封闭的体系，它们各有其特殊的术语和专门的研究方法，要同时跨越几个领域实在不易，要作个通才，更是难上加难。可是，彭加勒就是这样的通才，人们公认他是堪与高斯相媲美的大数学家。
在彭加勒出生后的第二年，高斯(1777~1855)就去世了。高斯是德国著名的数学家，被誉为“数学家之王”。他的研究遍及所有数学部门，也是非欧几何学的创始人之一。可以说，19世纪数学的发展一开始就在数学巨人高斯身影的笼罩之下，而后来却在同样一位数学大师彭加勒的支配之中。他们两人是最高意义上的广博的数学家，并且都在物理学和天文学上做出了重要贡献。事实上，彭加勒在数学的四个主要部门——算术、代数、几何、分析——中的成就都是开创性的。洛夫(Love)在评价彭加勒时说过：“他的权威现在已被公认，他能够进入所有时代最伟大的数学家行列之中，未来的几代人将不可能修改这一论断。”
彭加勒的首次成功是在微分方程理论方面。这项工作开始于1880年，其时他年方26岁。对于常微分方程的研究促使彭加勒从事超越函数新类系——自守函数——的探讨，自守函数是椭圆函数的推广。彭加勒把自己发现的一类自守函数命名为富克斯函数。克莱因(F．Klein)倒是考虑了富克斯函数，但富克斯(L．Fuchs)却没有考虑过，为此克莱因就优先权问题向彭加勒提出了抗议。彭加勒的回答是把自己紧接着发现的一类自守函数命名为克莱因函数，因为这类函数正像有人所幽默地注视到的，克莱因也从未想到过。
1884年，彭加勒在《数学学报》前五卷发表了关于自守函数的五篇重要论文，这一划时代的发现使不到30岁的彭加勒闻名于世。从此，他一生事业的魔杖被抓住了，阿拉丁的神灯 被擦亮了。可是，当这组论文的第一篇发表时，克隆尼克(L．Kronecker)却警告编辑说，这篇不成熟的和隐晦的论文会把期刊扼杀掉。
自守函数的研究和微分方程定性理论的研究一样，促使彭加勒重视拓扑学。1887年，33岁的彭加勒被选人巴黎科学院，像这样年轻的新人进入科学院实属罕见。大多数数学家在签署意见时认为，“彭加勒的工作成就超过了通常的赞扬，这必然使我们想起雅可毕(C．C．J．Jacobi)描述阿贝尔(N．Abe)的情况——他解决了在他之前未曾设想过的问题。事实上必须承认，由于椭圆函数的成功，我们正在目睹数学领域里的一次革命，这次革命在每一个方面都可以和半个世纪前出现的革命相比较。”
彭加勒说过，数学家具有两种截然相反的倾向。有的人具有不断扩张版图的兴趣，在攻克某个难题后，便抛开这个问题，急着出发进行新的远征。另外的人则专心致志地围绕着这个问题，从中引出所有能够引出的结果。前者像一个乘汽车的旅行家，后者则象一个徒步游客。彭加勒本人就是这样一个在数学新版图上乘车驰骋的旅行家。法国数学家、彭加勒的传记作家达布(G．Darboux)谈到彭加勒这一特点时说：“他一旦达到绝顶，便不走回头路。他乐于迎击困难，而把沿着既定的宽阔大道前进、肯定更容易到达终点的工作留给他人。”彭加勒属于库恩所说的发散式思维的科学家，对于一个科学开拓者来说，这的确是不可或缺的素质。
就这样，彭加勒接二连三地出击，雄心勃勃地进行新的征服。在函数论方面，他的每个贡献都是拓广的领域的出发点，他在1883年的一个结果导致了整函数和亚纯函数的庞大理论，该理论在80年之后仍未穷竭。他对阿贝尔函数和代数几何学也十分感兴趣。从1881年到1911年，他就这个课题写的论文和自守函数的一样多，他的一些证明方法在1965年之前还未有人超过，这些方法在其他现代问题上也有价值，看来其有效性还远未挖尽。在数论领域，他给出了整数型亏格的第一个普遍定义，给出“秩”(rank)的概念，这个概念的许多问题仍未得到解答，更深入地钻研他的论文也许会导致新的结果。关于代数学，他研究了次数≥3的算术理论、非交换代数、包络代数，发现了李代数中的基本定理：彭加勒-柏克霍夫-维特定理。微分方程及其在动力学上的应用显然处于彭加勒数学思想的中心地位，他几乎每年都要发表这个课题的论文。在这方面最突出的贡献是微分方程定性理论，其中许多都是前人未曾触及到的。关于代数拓扑学，他从1894年开始研究，在十年内发表了六篇奠基性的论文。他定义了贝蒂数，发明了单形的同调论的一整套方法，推广了欧拉多面体定理(现称欧拉-彭加勒公式)，提出了流形同调的著名的对偶定理，引进了挠率概念。有人正确地说过，直到1933年发现高阶同伦群之前，代数拓扑学的发展完全基于彭加勒的思想和方法。在关于概率论的大量论著中，他最先使用了“遍历性”的概念，这成为统计力学的基础。他在数学基础等领域也作了许多工作。尽管如此，彭加勒并不十分满意他已有的成果，他甚至说过，他从来没有发表过一篇既不后悔它的内容、也不后悔它的形式的论文。
在数学哲学方面，彭加勒在发现了逻辑悖论的情况下复活了直觉主义，并且形成了广泛的运动，他的立场使他成为数学直觉主义学派的先驱。他批判了罗素、皮亚诺( G．Peano)等人为代表的逻辑主义和以希尔伯特等人为代表的形式主义，但也不是完全排斥它们。他极力主张，如果不求助于直觉，要从已经接受的逻辑原理推导出全部数学真理是不可能的。他多次强调直觉在数学发明中的重大作用。他说，对于纯粹数学家而言，直觉本领是必不可少的。逻辑用于论证，直觉用于发明。知道如何批判固然不错，知道如何创造当然更好。数学创造并不在于用已知的数学实在构成新的组合。任何一个人都会做出组合，但是这种组合的数目是无限的，它们中的大多数毫无意义。创造恰恰在于不作无用的组合，而作有用的、为数极少的组合。发明就是辨认和选择。可是，你如果没有在所有组合中选择的技巧，就无法辨认一个组合是否正确。逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇见任何障碍，但是它不能告诉我们那一条路能引导我们到达目的地。为此，必须从远处了望目标，教导我们了望的本领是直觉。没有直觉，数学家便会像这样一个作家：他只是按语法写诗，但却毫无思想。彭加勒还形象地比喻了专注于逻辑和受直觉指引这样两种截然相反的思想类型。他说前者“步步进逼，效法符邦(Vauban) ，挖壕筑垒，稳扎稳打，没有给机遇留下任何余地”；而后者“象勇敢的前卫骑兵，迅猛出击，以速制胜，但有时也要冒几分风险”。在科学的疆场上，彭加勒这位直觉主义者正是扮演了冲锋陷阵的“前卫骑兵”。
彭加勒认为，整数是不可定义的，整个数学的基础是数学归纳原理，它的可靠性被直觉地认可，也就是说，是综合的、先验的。他嘲笑罗素在《数学原理》(1903年)中把1定义为α{x•α＝i’x}，他说，对于从未听说过数目1的人来说，这是一个“令人赞叹的”定义。
彭加勒认为，数学创造的产生是一个使心理学家十分感兴趣的问题，它是人类思想似乎从外面所得最少的能动性，通过了解这一过程，我们有希望达到人类精神的最基本之处。他说：“潜在的自我无论如何也不比自觉的自我低下，它不是纯粹自动的，它能够辨认，它机智、敏锐，它知道如何选择、如何凭直觉推测。”他通过自己发现富克斯函数的经历，详细地说明了这个问题。他说他怎样在冥思苦想、一无所获的情况下，晚上偶尔喝了黑咖啡，久久不能入睡，构成了稳定的结合。他说他在地质旅行时，脚踩上汽车踏板的一刹那，一种想法突然闯入心头。他说他在海边的悬岩边散步，是怎样突然顿悟的。他说他沿大街散步时，一个相当困难的问题怎样霎时呈现在他的面前。彭加勒总结了这种无意识工作的条件：“如果—方面有意识的工作在它之前，另一方面又被有意识的工作尾随其后，那么这就是可能的，而且肯定是富有成果的。”
开辟了理论天文学的新纪元
自牛顿以来，天文学向数学家提出了许多问题。直到19世纪之前，天文学家在处理天文学问题时所用的武器实际上是牛顿、欧拉、拉格朗日和拉普拉斯所发明的武器的改良。但是，从19世纪开始，柯西发展了复变函数论，他本人和其他人对无穷级数收敛问题进行了研究，天文学的武库通过数学家的努力正在扩充起来。对于彭加勒来说，他很自然地想到自己的解析学，他把这种从未运用过的数学新武器用来进攻天文学。他所发动的战役在当时是如此地现代化，以致在40多年后，还没有几个人能够掌握他的锐利武器。
在19世纪，法国在理论物理学和其他学科方面失去了霸主地位，但在理论天文学方面仍然领先一步。彭加勒是这一光荣传统的继承人，他站在他的同胞克莱劳(A. Clairaut)、拉普拉斯、勒维烈(U．Le Verrier)这些天文学巨人的肩上，当然会看得更远一些。他的主要工作有三个方面：旋转流体的平衡形状(1885年)，太阳系的稳定性即n体问题(1899年)，太阳系的起源(1911年)。
彭加勒对第一个问题的兴趣是被威廉•汤姆孙和泰特(P．G．Tait)的《论自然哲学》一书中的一节激起的。此外，他在讲授流体力学时也对标准教材中关于旋转流体的处理感到不满。
彭加勒在1885年发表的长篇论文中讨论了由雅科毕椭球体派生出来的、角动量渐增的新体系的平衡形状，这种形状后来称为梨形。彭加勒认为，这种体系演化的下一个阶段可能是一大一小彼此绕着旋转的两个天体的平衡状态，该假设肯定不能用于太阳系，某些双星必然会呈现出这样的过渡形式。后来，俄国数学家李亚普诺夫( A. M．Lyapunov)和英国天文学家金斯(J．Jeans)分别在1905年和1915年证明，梨形是不稳定的。当然，现在有些人不再相信，彭加勒的梨形能在宇宙演化中起任何作用。但是，至今仍然有人研究，流质经过旋转不稳定后发生的分裂可能导致形成双星体系，甚至有人认为地球也是梨形，因而彭加勒处理问题的一般方法也许可能再度得势。
彭加勒在天文学上的最大成功表现在对“n体问题”的处理上，这是瑞典国王奥斯卡二世(OscarⅡ)在1887年提出的悬赏问题。设n个质点以任意方式分布在空间中，所有质点的质量、初始运动和相互距离在给定的时刻假定都是已知的。如果它们之间按照牛顿万有引力定律相吸引，那么在任何时刻，它们的位置和运动(速度)怎样呢?对于数学天文学来说，一群星系中的每个恒星都可以视为这样的质点，于是n体问题就相当于今后天空的情况将是什么样子，假使我们有足够的观察资料描述目前天空的普遍结构的话。显然，这个天文学问题不仅具有数学特色，而且具有物理学特色。
