一、没有假设，科学家将永远寸步难行
关于假设，在彭加勒之前，许多科学家在科学实践中都自觉或不自觉地运用过，一些哲学家也对此作了不同程度的论述。特别是恩格斯在《自然辩证法》中明确指出：“只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假说。一个新的事实被观察到了，它使得过去用来说明和它同类的事实的方式不中用了。从这一瞬间起，就需要新的说明方式了——它最初仅仅以有限数量的事实和观察为基础。进一步的观察材料会使这些假说纯化，取消一些，修正一些，直到最后纯粹地构成定律。如果要等待构成定律的材料纯粹化起来，那么这就是在此以前要把运用思维的研究停下来，而定律也就永远不会出现。” ，彭加勒通过自己科学活动的实践，也达到了类似的认识。他不仅明确地肯定了假设在科学中的地位和作用，而且比较深入地探讨了假设问题，他甚至把他的第一部科学哲学著作取名为《科学与假设》。
彭加勒认为，假设并不是荒诞无稽的东西，人们略加思索就会发觉，假设在科学中所占的重要地位，数学家不可能没有它，实验家也少不了它，因为它能够使我们想像比我们感觉所能向我们表明的大得多或小得多的对象。顾忌假设的科学家无法去发现某些真理。因此，彭加勒指出：“我们应当仔细审查假设的作用，不要对假设简单地加以责难，这样我们才能认识到，它不仅是必需的，而且往往是合理的。”提出“建筑在假设之上的科学是否牢固，是否吹一口气就会使之倾倒”的怀疑是“肤浅的见解”([1]，pp.27~28)。彭加勒断言：“没有假设，科学家将永远寸步难行。”([1]，p.6)
值得注意的是，彭加勒对假设进行了分类研究([1]，pp.135~136、28)。在他看来，假设共有三种：第一种是“极其自然的假设”。这是一种很普遍的假设，人们几乎不可能回避它们，我们用它来做相关判断(judgement of relevance)。例如，我们不得不假定遥远物体的影响完全可以忽略，小位移遵守线性定律，结果是原因的连续函数等等。这类假设只是表面看来是假设，其实只不过是一种隐蔽的约定或定义而已，这类假设在数学及与数学相关的学科中常常遇到。第二种是“中性的假设”。在大多数问题中，解析家在计算之初，或者假定物质是连续的，或者相反，假定物质是由原子构成的。无论他做那一种假定，其结果是一样的，只是求得结果的难易程度不同。当假设是可选择的，而它又不能用实验区分时，它们就是这类假设。这类假设只要它们的特征未被误解，就不会使我们误入歧途。它们对于计算或通过具体图像帮助我们理解是有用的，即有助于整理和坚定我们的思想，从而不存在排除它们的机会。第三类假设是“真正的推广”。它们是实验必须证实或推翻的假设。它们是观察和实验的直接推广，无限期地敞开着通向进一步检验的大门。不管实验宣布其合理或不适用，就它们的启发作用而言，它们总是有价值的。玛丽•妮厄(Mary Jo Nye)在彭加勒论述的启示下，根据假设在科学知识体系中所起的作用，把假设分为“说明性假设”(保留在物理理论中，是一种协调手段，有益于提示不同现象之间的相互关系)，“启发性假设”(不具有存在的意义，仅有建议作进一步实验、观察或探索纲领的联接方式中的信息的启发意义)、“实在论假设”(具有实在论的或存在的意义)并能由实验直接地或间接地加以验证) 。这两种分类方法在形式上尽管不同，但却具有大致相同的内容。
彭加勒重视假设，但是并未把它强调到不适当的程度。他明确指出：“不凭实验，基于某些不成熟的假设来说明宇宙，长期以来只是幻想。” ([1]，p.280) “假设应当尽可能迅速、尽可能经常地受到检验。当然，它如果经不起这种检验，就应当毫无保留地抛弃它。”([1]，p.133)在彭加勒看来，科学家在抛弃他的假设时，不仅不要有病态情绪，而且应当感到高兴，因为他从中正好找到了未曾料想到的发现机会。由于科学家的假设并不是在毫无考虑的情况下做出的，他顾及到了可能参与该现象的所有已知因素。如果经验不支持它，那肯定是遇到了未曾料到的、非同寻常的东西，正是在这里，存在着有待发现的新奇事物。这样看来，被抛弃的假设远不是无用的，可以说它比真实的假设贡献更大。它不仅为判决实验提供了机会，而且若不作此假设，只是偶尔作了这个实验，则人们将会一无所获，至多不过是把一件事实编入目录中，不能从中得出应有的结果。由此可见，彭加勒不仅看到了假设的正面助发现作用，而且也看到它的反面助发现作用。
彭加勒还要求人们注意：“不可滥用假设，并且只能依次而用，这是很重要的。” ([1]，p.135)他认为最好引入少数基本假设，而不要引入多数特殊假设。例如，在1900年召开的巴黎国际物理学会议上，他在谈到洛伦兹的电子论时说，该理论是现存理论中最使人满意的，但是也有修正的必要。为了解释迈克耳孙-莫雷实验，需要引入新的假设，那么每当出现新的实验事实时，同样也发生这种需要。无疑地，对于每一个新的实验结果提出一种特殊假设的作法是不自然的。假使能够利用某些基本假设，并且不用忽略这种数量级或那种数量级的量，来证明许多电磁作用都完全与系统的运动无关，那就更好了。这实际上是要求在作假设时贯彻简单性原则，而简单性原则也是彭加勒所坚持的一个方法论原则。
在本世纪初，扬言要把一切“形而上学”的东西从科学中排除出去的实证主义思潮依然根深蒂固，彭加勒一反其道，强调假设在科学中的意义，显然有积极意义。
二、直觉是发明的工具
彭加勒主要是一个数学家，他在函数论、代数几何学、数论，代数学，微分方程、代数拓扑学等分支都作出了杰出的贡献。他也是数学直觉主义的创始人(也具有经验主义的传统和逻辑主义的成分)。通过亲身实践，他充分肯定了直觉在数学和其他学科中的作用，在《科学与方法》中，他专用一章论述了这个涉及到发明心理学的问题。
彭加勒认为，对于纯粹数学家而言，直觉的本领是必要的。他说：“逻辑是证明的工具，直觉是发明的工具。”我们面前有无数条可供选择的道路，“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇见任何障碍，但是它不能告诉我们那一条道路能引导我们到达目的地。为此，必须从远处了望目标，教导我们了望的本领是直觉。没有直觉，数学家便会像这样一个作家：他只是按语法写诗，但是却毫无思想。” ([1]，p.438)
在彭加勒看来，数学创造不是一项机械工作，它并不在于用已知的数学实在造成新的组合。任何一个人都会做出组合，但是组合的数目是无限的，它们中的大多数完全无意义。创造恰恰在于不作无用的组合，而作有用的，为数极少的组合，而且最富有成果的常常是从相距很远的领域引出的元素所形成的组合。发明就是在这些组合中进行辨认、选择。但是，纯粹的逻辑不能完全作到这一点，为此必须求助于直觉。只有直觉，才能发现各元素隐微的关系及和谐。
为了把问题引向深入，彭加勒进而提出了“潜在的自我”(the subliminal self)和“自觉的自我”(the conscious self)的概念。在这里，前者是指无意识(或下意识)工作的自我，后者则指有意识工作的自我。潜在的自我能够产生灵感的直觉认识，有可能一下子洞察到事物的本质和规律。彭加勒认为：“潜在的自我无论如何也不比自觉的自我低下，它不是纯粹自动的，它能够辨认，它机智，敏锐，它知道如何选择、如何凭直觉推测。……它在自觉自我失败的地方取得了成功。一言以蔽之，潜在的自我难道不比自觉的自我优越吗?”([1]，p.390)
彭加勒以自己如何发明富克斯函数(Fuchsian function)的亲身经历说明了这个问题。他说他曾有两星期之久欲证明此种函数是否存在，每天坐在桌前用一两小时作各种组合，仍一无所获。某天晚上偶饮黑咖啡，兴奋得不能入睡，此时各种想法纷至沓来，相互冲突、排斥，终于得到二元素相缔合而结成牢固的联系。第二天早晨即证明有一类富克斯函数存在，可由超几何级数推出，待写出结果，只费数小时而已。类似的情况还有几次。一次是作地质考察旅行登公共汽车时，突然想到定义富克斯函数的变换式与非欧几何的变换式等价。一次是在悠闲散步时，忽然想到不定三元二次式的算术变换式与非欧几何的变换式等价。一次是在接受军事训练行经大街时，顿悟到解决构造一切富克斯函数的障碍。
彭加勒因此得出结论说：“关于这种无意识的工作条件，尚可说明如下：如果一方面有意识的工作在它之前，另一方面又被有意识的工作尾随其后，那么这就是可能的，而且肯定是富有成果的。”([1]，p.389)彭加勒关于直觉在发明中的作用以及潜在的自我与自觉的自我的作用的论述是颇有意思的。它告诉我们，产生直觉的条件是：对所要解决的问题进行过一段时间的认真研究，十分渴望找到解决方法；然后在作无关的事情时，或处于轻松的思想状态中，突然顿悟到解决问题的方法，从而使问题迎刃而解。它也告诉我们，直觉产生于大脑的下意识活动，这时大脑也许不再自觉地关注问题了，而还在通过下意识的活动(潜在的自我)思考它。它还告诉我们，直觉出现在意识的边缘，而不是出现在意识的中心，要不失时机地捕捉它。
三、作为理性美的科学美
彭加勒对科学美(或数学美)具有浓厚的兴趣，他说：“一个名副其实的科学家，尤其是数学家，他在他的，工作中体验到和艺术家一样的印象，他的乐趣和艺术家的乐趣具有相同的性质，是同样伟大的东西。” 这种“伟大的东西”就是与艺术美可以相提并论的科学美。在彭加勒看来，数学的目的有三个，除了实用的目的和哲学的目的而外，它还具有美的目的。这就是，“数学家能由此获得类似于绘画和音乐所给予的欢乐。他们赞美数与形的微妙的和谐；当一个新发现向他们打开了未曾料到的视野时，他们惊奇不已；他们感到美的特征，尽管感觉没有参与其中，他们难道能不高兴吗?” ([1]，p.280)
在彭加勒看来，科学美根源于自然美。正因为如此，“数学家把重大的意义与他们的方法和结果的美联系起来”的作法才“不是纯粹的浅薄涉猎” ([1]，p.372)。正因为如此，我们才“毋需担心，这种本能的和未公开承认的偏见将使科学家偏离对真理的追求。”彭加勒认为，科学家研究自然，并非因为它有用处；他研究它，是因为他喜欢它，他之所以喜欢它，是因为它是美的。如果自然不美，它就不值得了解；如果自然不值得了解，生活也就毫无意义。可是，什么是“自然美”呢?彭加勒断言，自然美不是“感性美”，即不是“给我们感官以印象的美，也不是质地美和表观美”；自然美在于其“深奥的美”(profounder beauty)，即“潜藏在感性美（sensuous beauty）之后的理性美(intellectual beauty)”。彭加勒说他完全不是小看感性美，只是“这种美与科学无关”。而深奥的美“在于各部分的和谐，并且纯粹的理智能够把握它。正是这种美使物体，也可以说使结构具有让我们感官满意的彩虹般的外表。没有这种支持，那些倏忽即逝的梦幻之美其结果就是不完美的，因为它是模糊的、总是短暂的。相反，理性美可以充分达到其自身，科学家之所以投身于长期而艰巨的劳动，也许为此缘故甚于为人类未来的福利。”([1]，pp.366~368)
科学美在于自然的理性美，而这种理性美必须由人的理智来把握，因此科学美必然带有浓厚的主观色彩。彭加勒看到了这一点，他说：“美的事物是其本身最适合于我们理智的事物，因此它们同时是这种理智最了解如何使用的工具。”([1]，p.367)“一言以蔽之，数学的美感只不过是由于解与我们思想需要的任意一致的满足，正因为这种真正的一致，这个解在我们看来才能够成为工具。”([1]，pp.372~373)而且，科学美像艺术美一样，并非每一个人都能领略和体会到的，“只有少数有特殊能力的人才能充分地享受它” ([1]，p.280)。
与科学有关的理性美，即科学美的含义和内容是什么呢?彭加勒对此虽未做出十分肯定的回答，但是他却把“雅致”(elegance)、“和谐”(harmony)、“对称”(symmetry)、“平衡”(balance)、“秩序”(order)、“统—”(unity)、“方法的简单性”(simplicity of the means)、“思维经济”(economy of thought)等赋予科学美。彭加勒说：“在解中、在证明中，给我们以美感的东西是什么呢?是各部分的和谐，是它们的对称、它们的巧妙平衡。总而言之，就是引入秩序，给出统一，容许我们清楚地观察和理解整体与细节的东西。”这种科学美也表现为“方法的简单性和问题集合的复杂性的对立”，而且“与思维经济密切相关” ([1]，p.373)他还说：“被我们赋予优美和雅致特征的、能够在我们身上激起美的情感的数学实体是什么呢?它们是这样的实体：其元素和谐地配置，以致当思想认识到细节时，能够毫不费力地包容整体。这种和谐立即满足了我们的审美需要，有助于它所证实和指导的思想。与此同时，一个秩序井然的整体处于我们的双目之下，使得我们能预见数学定律。”([1]，pp.391~392)但是，在这形形色色的含义中，彭加勒最为强调的是“和谐”，他甚至把其它含义也包容于“和谐”的概念之中，有时干脆认为，“普遍和谐是众美之源”([1]，p.209)，“内部和谐是唯一的美”([1]，p.285)。
彭加勒把科学美作为选择理论的一个标准和科学发现的奇妙工具。他说，在由潜在的自我盲目形成的组合之中，几乎所有的都毫无兴趣，毫无用处；正由于这样，它们对美感毫无影响，意识将永远不了解它们。只有某些组合是和谐的，因而同时也是有用的和美的。它们将激起数学家的特殊感觉，特殊感觉一旦被唤起，就能把我们的注意力引向它们，从而为它们变为有意识的提供机会([1]，p.392)。彭加勒详细说明了这种审美判断能从类似、新奇，对立中做出新发现。他说，我们愈清楚地一瞥即见这种集合体，我们就愈能更好地觉察它与其他邻近现象的类似性，因而也就有更多的机会预言可能的推广。在意外地遇到我们不习惯于汇集的对象的情况下，美可以产生未遇见到的东西的感觉；它再次是富有成果的，由于它向我们揭示出未被认识到的亲缘关系。即使当它仅仅起因于方法的简单性和问题集合的复杂性的对立，它也是富有成效的。于是，它能促使我们思考这种对立的原因，并且每每促使我们认识到，机遇并不是其原因，该原因能在某一未曾料到的规律中发现([1]，pp.372~373)。彭加勒断言：“正是这种特殊的审美感，起着微妙的筛选作用”，“这就充分地说明，缺少它的人永远不能成为真正的创造者。”([1]，p.392)
