首先，让我们来总结一下成为二进位制的条件是什么？
１．必须符合自然数定义，即必须是用来表示数量关系或顺序关系的符号体系。
２．基本的符号是不是只有两个？
３．必须符合位值进位制的定义，即是否“用同样的符号利用位置关系表示高位值”，而不是另外引入专用进位符号？
以上三个条件是一个符号体系称为二进位制体系的充分条件。现就上述条件逐一讨论。
１．邵雍先天易是用来表示抽象顺序关系的符号体系。
这一点取得了几乎完全的共识，看到图就知道，这是非常显然，无法辩驳的，几乎所有的反对者都承认这一点。现最流行的观点是西方汉学家葛兰言提出来的，他断言是碰巧而不是有意排出来的抽象顺序，那也许是他没有阅读原著的结果。因为伏羲卦图称为伏羲八卦次序和伏羲六十四卦次序，图名为次序，有什么理由说他们不是主观上有意的排序？自邵雍以来，几乎所有的易书对此都做了或繁或约的阐述，现举朱熹对伏羲六十四卦次序图的说明如下:
朱熹答袁枢曰：
若要见得圣人作易根原，直截分明，不如且看卷首横图，自始初只有两画，渐次看起，以至生满六画之后，其先后多寡，既有次第，而位置分明不费词说，于此看得方见六十四卦全是天理自然挨排出来，圣人只是见得分明，便只依本画出，元不曾用一毫智力添助。盖本不繁智力之助，亦不容智力得以助于其间也。 大家注意其中的“其先后多寡，既有次第，而位置分明不费词说，于此看得方见六十四卦全是天理自然挨排出来”，说的就是先天易图排列法则是依照大小多寡一个挨一个地排出来的，强调了其中的数(序号)意义。
２．邵雍先天易图只用两个基本符号即阴与阳来表示。
这是主要误会所在，误以为必须是０和１才是二进制，甚至认为必须用1代替“—”、0代替“--"才能称为二进位制。尽管北宋以来有不少中国古代学者对二进位制的简单换算性质作了叙述，但与其它计数方式的换算不是二进位制自身是否成立的前提。
３．邵雍先天易图无须引入专用进位符号，直接利用阴阳爻的相对位置表示位值，也就是说，利用了位值的概念。以往几乎没有人注意到这个问题。
可见，邵雍先天易是用“—”和“- -"这两个基本符号构建的序数体系，二进位制记数法是先天易的逻辑基础。
第二节 先天易是专门定义的抽象数
我们知道，中国数学史所讨论的内容基本上都属于算术范畴，在古代被称为算学，即布算之学，重于计算技巧。而中国古代数学是专指邵雍为代表的研究传统，即通过对抽象数的研究来探寻宇宙万事万物的内在逻辑。俗言中心中有数、定数就是这个数。伊川说：“数学至康节始入理也。”《四库全书提要》评述道：“物生有象，象生有数，乘除推阐，务完造化之源者，是为数学。”就是说：主张物的产生必有象为先导，象的产生必有数为基础，对数的关系进行深入探究，以达到穷尽造化演化规律的学问称为数学。上海古籍出版社《四库术数类丛书》出版说明指出：“(数学)实际是指据《周易》阴阳奇偶之数推衍出来的象数说。”
邵雍是如何看待数的呢？《观物外篇》说：
易有内象，理数是也；有外象，指定一物不变者是也。
自然而然不得而更者，内象内数也，他皆外象外数也。
此就是说，象数可分两大类：一是内象，用以表示内在的理数；一是外象外数，用以表示外在的具体事物及其相关的数据。前者指奇偶变化的法则，后者指天地风雷等变化的形迹。实际上，中西古代数学史所讨论的数都是具体的数量，都是带单位的数，即这里的外数。理数之称，强调数自身的内在逻辑性不是人的主观所能安排或改变的，此即“自然而然不得而更者”，故称其为内数，他把内数所具备的内在的数理逻辑称为“自然之道”。
换句话说，理数即是用于说理之数，强调其数之理，说明这种数的主要特征是具有内在的逻辑性。内数，指阴阳逻辑系统，用以研究事物的内在所固有的数理逻辑。从数学学派的著作中可以看出两种内涵都有而前者是根本。中国数学史上的内学和外学之分，常常是建立在这种概念基础上的。研究抽象数理逻辑的数学称为内学，而研究具体数量关系的算学称为外学。邵雍特地将体现“自然之道”的内数即数理逻辑与通常所用的“指定一物不变”的指实数区别开来是有其目的的，其目的是要将他所倚重的内数即数理逻辑发扬光大，做为他理论的基石。
邵子将数分成内数与外数两种性质完全不一样的系统，在数学史上是一个独具慧眼的发现。根据抽象数学发展的需要，现代数学中把数分为抽象数(即不名数Abstract Number)和名数(Concrete Number ) 两类（见（台）《中山自然科学大辞典》第二册《数学》P33～78）。抽象数（不名数）的定义是： “任意单纯的数，与任何特别的事物无关，除非这些事物具有数的性质，主要用以表示与名数的差别。”而名数的定义是：“一数附于特别的事物或单位，例如三个人或三小时等，此数及其所涉及者并称为名数。”
这种划分与邵雍关于内数与外数的划分基本上是一致的，邵雍定义中的外数是“指定一物而不变者”，就是现代定义中的名数；而内数是用以表达数之理，其定义除了与抽象数的定义一样强调“与任何特别的事物无关”之外，还侧重强调其逻辑具有浅显(自然而然)而严密(不得更者)的特征，表明它主要是用来探寻事物的内在规律性(自然之道)。内外数的划分，标志着中国中古时期存在相当成熟的理性思考，增添了传统科学中研究抽象关系的纯粹科学特色。邵雍开创的学术传统，被称为数学。《四库全书》列有数学专目，而《古今图书集成》也有理数部，专门收集数学学派代表作。
第三节 邵雍数学学派关于二进制序数换算问题的讨论
邵子先天易作为二进位制序数体系无疑是成立的，就像不能说只把写成阿拉伯数字形式才算是数字一样，无论从何角度也不要求非得把它换算成十进制不可。
理数是序数体系，有别于通常所用的基数体系。在介绍相关换算之前，有必要介绍两者在计数方式上的微小差别。基数从“没有”（0）开始，序数从“第一”开始。在十进位制表示中，从0到9十个基本记号来自基数的自然表达，对应于序数则是从第一（即以第“零”为一）到第十。同样的基本记数符号所代表的序数比基数多1,即n进制中符号系列a1a2…am所代表的序数为（a1a2…an）n+1。这种概念上的区别有非常明确的物理意义，如状态函数ψ(000)代表第一个状态（基态）。
先天易是以太极(阳)为基础构造的系统演化理论， 在阴阳的关系上邵雍《观物外篇》指出：
阳不能自立，必得阴而后立，故阳以阴为基。阴不能自见，必待阳而后见， 故阴以阳为唱。
邵雍数学学派以数为出发点，理从数中来。因此这里首先讲数（阴阳）的关系。根据阴阳特性和“一每生二，自然之理”法则，阳爻相当于零值，阴爻相当于位值。 “阳以阴为基”是说假如没有阴爻在高位，阳爻的个数对序的大小不产生影响，即高于位值（阴）的零值符号（阳）对序没有贡献，所以称阳爻以阴爻为基。例如：阴“- -”其对应序数为2，即(1)2＋1＝2；“兑”亦对应于序数2，即(001)2＋1＝2。
“阴以阳为唱”是说低位的阳爻高位的阴爻代表的位值倍增。例如：阴“- -”其对应序数为2，即(1)2＋1＝2；“巽” 其对应序数为5，即(100)2＋1＝5。
两句话说的是阴爻与阳爻在构成二进位制数的具体过程中表现出来的相互依存的两种不同的作用。即以阳为0，以阴为1高位在下的二进位制自然数。在《皇极经世书》中，“唱”与“和”均通用为相乘算法。下面我们从一个有趣的例子来介绍先天易中对二、十进制换算的处理。南宋张行成在《易通变》(又名《皇极经世通变》)卷一中说：
乾兑离震巽坎艮坤者，名也，名所以表其德；一、二、三、四、五、六、七、八者，数也，数所以定其位。位者，体也，故有位斯有卦；德者，用也，故有卦斯有爻。 卦者，体也；爻者，用也。先天图反观之则乾一、巽二、离三、艮四、兑五、坎六、震七、坤八。乾坤坎离四卦不变，余四卦则震艮巽兑互相易矣。天之一、三不变，二、四变；地之六、八不变，五、七变。
卷三十八则有如下论述：
卦自内观之，则乾一、兑二、离三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八；卦自外观之， 则乾一、巽二、离三、艮四、兑五、坎六、震七、坤八。
先天卦数即大家都很熟悉的乾一、兑二、离三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。 张行成说，从内往外读，即初爻为高位，卦的理数值是这个结果。假如反过来，自外往内读， 即上爻为高位，则是乾一、巽二、离三、艮四、兑五、坎六、震七、坤八。
下面依上述“阳以阴为基， 阴以阳为唱”的规则，转换成十进制值。若高低位的规定对换，则乾坤坎离四卦表示值不变，而震与艮、 巽与兑的表示值互相交换。
乾(000) 2＋1＝1；
坤(111) 2＋1＝8；
坎(101) 2＋1＝6；
离(010) 2＋1＝3；
震由(011) 2＋1＝4变成(110) 2＋1＝7；
艮由(110) 2＋1＝7变成(011) 2＋1＝4；
巽由(100) 2＋1＝5变成(001) 2＋1＝2；
兑由(001) 2＋1＝2变成 (100) 2＋1＝5。
第四节 明清时期对先天易二进位制的两种典型观点
一、王夫之斥先天易沦为算士铢积寸垒的小术
现代人对先天易卦衍生序的讨论都尽量限制在哲学范围之内。而从我们上面的讨论中可知，先天易卦符号首先是数的符号，然后在此基础上讨论包括哲学在内的其它问题。先天易符号二进位制数结构对明清学者来说是简单的事实。他们分歧的焦点在于强调二进位制数结构的先天易模型能否规范万物万象。作为邵雍数学学派的主要反对者，王夫之在评论邵雍以加一倍法演先天易时说：
教童稚知相乘之法则可，而与天人之理毫无可取。使以加一画即加一倍言之，则又何不可加为七画以倍之为一百二十八，渐加渐倍，亿万无穷，无所底止，又何不可哉？不知《易》但言四象生八卦，定吉凶，生大业，初不可损羲爻，益而为四爻，五爻。此乃天地法象之自然，事物通变之定数，不可以算士铢积寸垒，有放无收之小术，以乱天地之纪也。
邵雍、蔡西山之道，可勿仅以数学名也。始姑就之，天下趋焉；终遂耽之，大道隐焉。(《续春秋左传博议》卷下)
在他看来，先天易仅仅是算博士“铢积寸垒，有放无收”的雕虫小技而已，与大道无涉，也正是由于过分强调二进位制数学特性而失去了诠解大道的资格。
二、汪莱从Ｐ进制角度论证二进制的优越性
汪莱是清朝乾嘉时期杰出的数学家，也是中国古代著名的数学家。著有《衡斋算学》七卷、《衡斋遗书》九卷。因不满考据家因循复古的陈腐风气，郁郁不得志，以致英年早逝。
当时考据家以非两汉正统为由对邵雍数学学派进行全面否定，而从汪莱数学名著《参两算经》则可以看出他对邵雍观物思想和先天易情有独钟。
《参两算经》全文不足千字，分为《原始》、《立纲》、《汇奇》、《列偶》、《会归》，最后为《参两数说》，共六部分。文字极为凝炼，其中《原始》、《立纲》、《会归》各仅仅３０余字。
其中《原始篇》曰：
端居观物，情契先天，见象数之纷纭，其可断者不外乎参两，乃著之则以示来者。
此篇为前言，讲明此算经的写作目的。在当时观物之学极为尴尬的形势下，“端居观物，情契先天”八个字包含的情感非同一般。
《立纲篇》：
立数在十，算如常法。或上或下，逢身进位。立法少实，即命为法，立法过实，盈实进一。大纲若此，诸数以定。
此为算法总纲，讲任意进制的乘除法及整除性法则。《汇奇篇》和《列偶篇》则分别为奇数进位制与偶数进位制的乘除法及整除性研究。
《会归篇》是本经的结论部分：
曰参曰两乃数之原。立数于参，二乘一一。立数于两，一乘不烦。是以生诸数之法而不受裁于法。
通过上面的讨论，结论是二进制乘法口诀最简单，只需一算式，即一乘一等于一，并强调了二、三进位制的优越性，推之为“乃数之原”，旨在阐述他对“参天两地而倚数”的数学理解。
天津师范大学李兆华教授对汪莱数学著作有深入的研究，他在《汪莱〈递兼数理〉、〈参两算经〉略论》(吴文俊主编《中国数学史论文集（二）》)一文的最后指出：
《参两算经》一书，提出了采用各种进位制的原则是“审法与数之宜”以求运算的简便与结果的准确，足见汪氏治算观点之高。汪氏又具体地给出2≤p≤10时各种进位制中的乘除表并深入地讨论了p进制中的“整除性”问题，在中算史上是空前的。p进制的研究是随着本世纪四十年代电子计算机的产生而发展起来的，而中国的数学家在电子计算机产生之前一百余年对p进制的运算和理论达到如此熟练与深入，实在是值得骄傲的事情。
最后应该指出，这两篇著作都涉及到《易经》。《易经》究竟给予汪氏怎样的启发?怎样评价《易经》的这种影响?这是中国数学史研究中一个带有普遍性的问题。这个问题需要哲学史与数学史工作者共同努力才能给出实事求是的回答，本文姑从略。
尽管在上述论文中，作者刻意回避二进位制问题及相关评论，但是，从汪莱原著中我们不难看出，二进位制是《参两算经》的一个核心而且与邵雍先天易有千丝万缕的关联。
第五节 从皮亚诺序数公理出发论证先天易是完备的二进位制
邵雍数学学派发现并广泛使用二进位制是不必费多少笔墨就能说清楚的事实，本文的主要目的在于从序数公理出发论证邵子先天易是完备的二进位制序数体系。序数体系的建立是抽象数学的基础。邵子先天易是第一个有明确定义的序数体系，也就是第一个抽象数学体系。
自然数的概念在数学上一直被当做最明显，最基本的概念来应用，直到上世纪末，在数学的公理化方法发展的影响下，才提出“自然数是什么”的问题。基于自然数的两种功能层次，即表达个数的概念和表达顺序的概念，19世纪末出现了著名的康托尔基数公理和皮亚诺序数公理，从数学逻辑的角度对什么是个数和什么是顺序号作出定义。
大家都知道，个数和顺序都是显而易见的概念。但从文明发展的角度来说，异同概念的出现是理性的起点，个数概念的出现是一个巨大进步，顺序概念的出现又是一个巨大的进步。对个数（基数）和顺序（序数）作出规范定义将大大方便文明史的研究，也有助于抽象数学本身的发展。
基数就是个数，是最原始的、很直观的数的概念，判断掌握基数概念的标准是只需有一一对应地数个数能力，尚不要求形成整体意识，也不要求有一般的比较概念。自然数的基数理论，即康托尔基数公理，是以集合和一一对应的概念为基础来定义的。由于在定义中不能隐含顺序概念在里面，使用集合的概念来定义是非常巧妙的，但也相当拗口。
给定两个集合Ａ、Ｂ，如果存在一个规则ｆ，对Ａ中的每一个元素ａ，在Ｂ中唯一确定ｂ（即ａ在ｆ下的像），而Ｂ中任一元素ｂ均由Ａ中某一相应元素ａ唯一确定，那么就说ｆ是Ａ到Ｂ的一个一一对应。存在一一对应的两个集合称为等价的，取定一个集合Ａ，把所有与Ａ等价的集合放在一起，作成一个集合的类Ｗ，Ｗ中所有集合所共有的属性称为Ａ的基数，简言之，类Ｗ本身就称为Ａ的基数。集合的基数实际上就是集合中元素的个数。
自然数的序数理论是利用两个的基本概念第一个(first)与下一个(next)以及四个公理来定义的。第一个通常可以记为１，不过不如记为n0更有普遍意义。所谓自然数（序数），是指满足以下性质的集合Ｎ中的元素：
１）n0是Ｎ的一个元，它不是Ｎ中任何元的后继者，若n的后继者用n＋来表示，则对于Ｎ中的任意元n, n＋不等于n0。（注：n0是指定的顺序起点而不作证明）。
２）对于Ｎ中任意元n, 存在而且仅存在一个后继者n＋。
３）对Ｎ中任何两个元n和m, 若n＋＝m＋，则n＝m.
４）Ｎ的一个子集Ｍ，若具有以下性质：
① n0属于Ｍ；
② 对于任意m属于Ｍ，必有m+也属于Ｍ；则Ｍ＝Ｎ
皮亚诺公理指出，要建立一个顺序概念首先要选定一个顺序的起点“第一个”(first)，其次需要规定一个顺序操作“下一个”(next)或称为“后继者”，有了这两个概念，就能定义一个序列，也就是序数。序数概念是现代数学的基础概念，具有广泛的适用性。
下面以排队为例对皮亚诺公理进行说明，理论上队列可以无穷长。其中公理一是说：第一个是绝对的，不能存在“第一个”的上一个，比如排队时你排在前面第一个，就意谓着队列中没有比你排在更前面的。
公理二是说：队列中任何人的下一个必有但也只能有一个，不能多个 。
公理三是说：对任何人来说，如果他后面一个位置的序号已经知道（确定），那么他本身的序号也就定了。
公理四是说：假如原来队列的第一个另排一行，第一个的“下一个”，“下一个”的“下一个”全部依次跟过来，那么新队列和老队列是等价的。
这样定义的自然数称序数，以区别前者定义的基数，是专门针对“第几”这个问题而定义的。基数起于感性量的简单同异比较，用于描述感性的、形象的数量，而序数是基数的进一步抽象，是思维进一步发展的产物，用于描述理性的、抽象的关系量。
各种已知的古代数系，基本上都经过从基数到序数的过程，首先用以表示“几个”，然后才抽象出表示“第几个”的涵义。但除了先天易之外，还没有出现经过定义的序数体系。
专门把表示顺序的序数与表示个数的基数从基本定义上区分开来是数学向抽象化发展的要求，也是抽象数概念产生的基础。邵子先天易就是专门定义的序数体系。为叙述方便，用Ｙ表示先天易体系。下面从皮亚诺四个公理出发逐一论证说明先天易符合序数定义，是从序数的角度来定义的。
有明确的顺序起点定义，先天易从乾(太极)开始演化，是序列的起点。
有明确的次序定义，正如朱熹所说的“其先后多寡，既有次第而位置分明，不费词说，”、“全是天理，自然挨排出来”、“无不曾”、“亦不容”、“智力添助”。又是“未知其所穷”的“有放无收”的系统，这就是说，系统Ｙ是依多寡自然挨排即按多寡一个紧挨着一个排出来的排列，元素与元素之间的先后次序是固定不变的，元素的个数又是无穷的，故每个元素ｙ必有固定的唯一的后继者ｙ＋。
根据Ｙ系统上的特征，每一个后继者ｙ＋，前面必有唯一固定的元素ｙ。这是显然的。
设Ｗ是Ｙ的一个子集，即Ｗ中的元素全部是Ｙ中的元素，
假定I：乾一(y0)是Ｗ中的元素；
II：Ｗ中任意元ｗ，其后继者ｗ＋也是Ｗ中的元素。
则Ｗ与Ｙ等价。
证明：从前提Ｗ是Ｙ的一个子集出发得知，Ｗ中每一个元素都是Ｙ中元素，不存在属于Ｗ而不属于Ｙ的元素。
从假定一得知Ｙ序列的第一个元素y0也是Ｗ中的元素，Ｙ中不可能有在y0前面的
元素，而Ｗ中的元素都是Ｙ中的元素，因此Ｗ中y0也是第一个。
根据假定二，Ｗ中任意元素的后继者都是Ｗ中的元素，从y0出发逐一加一的生成的元素都是Ｗ中的元素，同时这本来就是Ｙ的定义，所以Ｙ是Ｗ的子集。又前提中Ｗ是Ｙ的子集，所以Ｗ与Ｙ等价。
由于进位制是自然数自身表达的模式，先天易系统Ｙ是自然数序数系统，在内部结构上，任意大数均表示为奇偶两个符号的迭加，并利用非零符号所在相对位置的不同表示位值的不同。所以先天易系统Ｙ是二进位制自然数体系。为了脱离数量与单位等具体特征的约束，先天易从单纯序数的角度来构建自然数序列，开抽象数学之先声，它的意义必将逐步得到人们的重视。
