贝叶斯定理是概率论的一个定理，它在现代归纳逻辑中常常扮演着重要的角色，因为它提供了一种计算假设的验后概率的方法。贝叶斯定理的表达式是：
在P（e）＞0和P（h[,i]）＞0的条件下，如果h[,1]，h[,2]，…，h[,n]是互斥且穷举的，那么，
P（h[,j]）P（e／h[,j]）
P（h[,j]／e）＝───────────── （1≤j≤n）
n
∑P（h[,i]）P（e／h[,i]）
i＝1
此等式左边的条件概率P（h[,j]／e）一般被称为被检验假设h[,j]相对于证据e的验后概率（上面提到，哈金已指出此说法并不严格），等式右边分子中的P（h[,j]）表示h[,j]的验前概率，P（e／h[,j]）表示h[,j]对e的预测度（或似然度）；类似地，分母中的P（h[,i] ）和P（e／h[,i]）分别表示该组假设中的任一假设h[,i]的验前概率亦即主观概率和对e的预测度。根据贝叶斯定理， 在对一个假设进行检验的时候应当满足以下几个要求：（1）至少存在另一个竞争假设，即n≥2；（2）这n个假设中至少并且至多有一为真；（3）任何一个竞争假设的验前概率大于0而小于1；（4）证据的无条件概率大于0。应当说，这些要求对于科学检验的实际过程来说都是合理的；并且有文献表明，满足这些要求对于解决归纳逻辑的一些疑难问题是必要的。由于贝叶斯定理给各个竞争假设的验前概率亦即主观概率留有发挥作用的余地（对之只有很弱的限制即大于0而小于1），从而成为从假设的验前概率过度到验后概率的桥梁。这使得它在现代归纳逻辑中，尤其在主观主义概率归纳逻辑中起着重要的作用，这就是主观主义概率归纳逻辑又被称为贝叶斯主义的原因。
七、无差别原则
无差别原则也叫作“不充分理由原则”，其内容是：对于任何两个事件或命题A和B，如果我们关于它们的知识是无差别的，亦即我们没有理由认为其中一个比另一个更有可能发生，那么，我们就应当对它们赋予相等的概率，即P（A）＝P（B）。无差别原则在古典概率论中起着重要的作用，因为概率的古典定义是：
A所包含的基本事件的数目
P（A）＝─────────────
全部基本事件的数目
基本事件的特征之一是具有等概性，而这种等概性就是由无差别原则确定的。无差别原则在现代归纳逻辑中也起着重要的作用，这在逻辑主义概率归纳逻辑中是十分明显的。无差别原则在很大程度上具有主观性和任意性，因为在一定意义上它是基于人们对两个事件或命题的相等的无知，这势必导致某些荒谬的结论。正因为此，现代归纳逻辑的另一些学派都尽量避免使用无差别原则。但是，这种努力是否成功，还是一个值得研究的问题。不过有一点是可以肯定的，即使保留无差别原则，也必须对它的使用条件或使用范围加以限制。
八、相关变项法
相关变项法（the related variables method）是由英国逻辑学家和哲学家科恩（J.Cohen）于本世纪70年代提出来的。它的新颖之处在于试图给出一个分级的而非连续的归纳支持测度。这种分级归纳测度的现实根据在于，科学家们为检验一个科学假设而进行的科学实验是经过精心策划的和有限的，而不是盲目的和无限多的，科学家们设计实验的基本方法就是逐一改变与被检验假设相关的变项及其组合。例如，对于“蜜蜂能辨别颜色”这一假设的检验来说，相关的变项包括：蜜蜂所追逐的目标的排列位置，目标的气味，等等；这些变项可以分别记为：V[,1]，V[,2]，……V[,n]； 其中每一变项又包括若干变素（即变项的值），如气味这一变项所包含的变素有：甜味、苦味、酸味，等等；变项V[,i]（1≤i≤n）的k个变素可记为：V[1][,i]，V[2]，…，V[k][,i]。由于各个变项对于被检验假设的相关性程度是有所不同的，相应地，它们对于检验的重要性也就有所不同。相关变项V[,1]，V[,2]，…，V[,n]是依其重要性程度由小到大的次序来排列的。 为检验一个具有“所有R都是S”这种形式的假设，实验可以按照如下方式来安排。实验t[,1]：改变相关变项V[,1]，让它依次在k[,1]个变素中取值，其他变项均保持不变，这样就构成k[,1]个子实验，从而构成一个实验完备组， 即“规范实验”；如果假设没有通过这个规范实验，那么检验到此为止，否则，继续进行实验t[,2]；以此类推，直到实验t[,n]。请注意，构成实验t[,2]的一组于实验并非仅由改变V[,2]的变素决定的，而是由改变V[,1]的k[,1]个变素和V[,2]的k[,2]个变素的组合决定的。显然，t[,2]包含了t[,1]，这使得如果一个假设通过了t[,2]，那它就一定通过了t[,1]，但反之不然。这种关系适合于任何两个实验t[,j]和t[,i]（j＞i）。在进行t[,1]之前，被检验假设已经具有一定的支持度， 否则它就没有被检验的价值；因此可以说，被检验假设首先通过t[,0]。这样，n个相关变项便构成包含t[,0]在内的n＋1个规范实验，从而使被检验假设的支持度可以分为n＋1个级别。如果一个假设H通过t[,i]，而没有通过t[,i]＋1，
i＋1那么它就获得第i＋1级的支持，其支持度记为S（H，E[,i]）＝────，
n＋1，其中E[,i]是关于t[,i]的证据报告。当假设H通过t[,n]时，其支持度便达到1。科恩宣称， 此方法是对培根和穆勒的传统排除法的发展和精制；不过，此方法还面临一些有待克服的困难。
九、非帕斯卡概率归纳逻辑
“非帕斯卡概率论”这个概念首先由科恩于1977年正式提出，但对它的研究可以追溯到沙克尔（G. Shackle， 1949 ）。 所谓帕斯卡（Pascal）概率论就是经典概率论；它有一条定理即：P（＠①H）＝1－P（H），此定理叫做“否定律”，也叫做“互补律”。但是， 此定理在非帕斯卡概率论中不成立，而代之以另一条定理即：如果P（H）＞0，则P（＠①H）＝0。科恩的非帕斯卡概率归纳逻辑是对其归纳支持理论的简单扩展，即把一个普遍概括的归纳支持度移植到它的某个特殊事例上。前面谈到，归纳支持理论是以相关变项法为其语义模型的，因此，科恩的非帕斯卡概率如同支持度也是分级的而非连续的。具体地说，如果假
i＋1设“所有R是S”获得的支持度是───，那么某一具有性质R的特殊
n＋1
i＋1 i＋1事例a具有性质s的概率也是─────，记为：P（Sa，Ra）＝──。
n＋1 n＋1由于非帕斯卡概率不满足经典概率的互补律，这使得，任何一个假设如果曾经获得大于0的支持度，那么它就永远不会被彻底否定：更有甚者，如果一个假设曾经在实验t[,i]中获得较高的支持度如4／5，那么，t[,i]以后的任何否证性实验t[,j]都不能使之降低一丝一毫。应该说， 这一结论是与科学检验的实际情况相违的。总之，与帕斯卡概率论相比，非帕斯卡概率论以及相应的归纳逻辑无论从语法上还是从语义上都显得不够成熟，亟待改进和发展。
十、局部归纳逻辑与整体归纳逻辑
局部（local）归纳逻辑是于本世纪六 七十年代在归纳逻辑研究范围内兴起的潮流之一，其代表人物是科恩、莱维（I. Levi）等。局部归纳逻辑是相对于整体（global）归纳逻辑而言的，而且同归纳逻辑的辩护问题直接相关。休谟把对一切或然性推理即归纳推理的辩护归结为对简单枚举法的辩护，他论证了简单枚举法的合理性得不到辩护，因此一切归纳推理都得不到辩护。休谟这里所要求的辩护是一种整体的辩护，即除演绎推理原则以外的任何原则或知识都需要辩护。以整体辩护为目标的归纳逻辑就是整体归纳逻辑。卡尔纳普和莱欣巴赫等人的归纳逻辑均属此类。与此不同，局部归纳逻辑只要求对归纳推理作局部的辩护。以科恩的相关变项法为例，它是以相关变项及其相关程度的知识为前提的，至于这种知识是如何得到的，此问题则超出归纳逻辑的范围，正是需要哲学家们向科学家们请教的，而不是相反；事实上，对于一个成熟的科学共同体来说，有关相关变项的意见往往是一致的，因而无需哲学家们节外生枝地对此提出质疑。用莱维的话来讲：“在科学中，仅当在具体的研究语境中产生了辩护的需要，关于信念的辩护才成为必要的。”现在一般认为，休谟所要求的那种关于归纳逻辑的整体辩护是不可能达到的，只能达到局部辩护，问题在于局部化的程度。应当说，一种归纳逻辑理论的局部化程度越低，其哲学价值越高。在许多学者看来，科恩和莱维等人所主张的归纳逻辑的局部化程度太高了，几乎等于对休谟问题的回避，因而是不能令人满意的。相比之下，贝叶斯主义归纳逻辑的局部化程度要低得多。
【参考文献】
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